martes, 20 de mayo de 2014

Dinámica de poblaciones

La simulación de sistemas tiene una gran campo de aplicación. Como ejemplo de ello veremos el sistema
Volterra-Lotka. Es un sencillo modelo matemático para la dinámica de poblaciones de especies en competencia.

Las ecuaciones diferenciales que lo rigen son:
x1′ = A · x1 – B · x1 · x2
x2′ = – C · x2 + D · x1 · x2


Suposiciones:
  • La población de depredadores viene dada por la función dependiente del tiempo x2(t).
  • Análogamente la de presas viene dada por x1(t).
  • El alimento disponible para la presa es ilimitado, por tanto la tasa de natalidad de la presa debe seguir la ley de Malthus o exponencial.
  • La tasa de mortalidad de la presa depende del número de interacciones entre presas y depredadores.
  • Las presas x1 son el único alimento de los depredadores x2. Por ello la tasa de natalidad de los depredadores depende de las interacciones con las presas.
  • Cuando excasee el alimento, los depredadores morirán en número proporcional a su población.
Para determinados valores de las constantes y de las condiciones iniciales, el sistema presenta un comportamiento periódico (ver figura).

Por ejemplo para A = 2, B = 2, C = 1 y D = 1; con condiciones iniciales x1(0) = 1 y x2(0) = 3.

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